邏輯、數學(xué)及本書(shū)的范圍
“邏輯”一詞有多種不同的用法。就目前的目的而言，我們可以方便地區分出三種。在一種意義上，（純粹的或形式的）邏輯關(guān)注有效語(yǔ)句，它們獨立于任何特定的題材而成立，或者說(shuō)，在一切可能世界中都為真。這個(gè)概念有一個(gè)含混的地方，會(huì )引出一個(gè)令人困惑的問(wèn)題，它可以歸結為是否應當把純集合視作一種特殊題材這個(gè)問(wèn)題?？雌饋?lái)很清楚的一點(diǎn)是，排除掉必然涉及無(wú)窮大、不可數性等概念的集合，我們確實(shí)能夠得到一個(gè)足夠重要的邏輯概念。因為我們完全不打算考慮模態(tài)邏輯，我們由此也就得到了第一個(gè)也是最狹窄意義的邏輯概念：（初等的或純粹的）邏輯無(wú)非就是帶或不帶等詞的量化理論或（一階）謂詞演算。
邏輯的第二種意義，大致對應著(zhù)通常所說(shuō)的數理邏輯，除了純粹邏輯，它還包括模型論、遞歸論，以及對整數、實(shí)數和集合的公理化處理。在這些情形中，邏輯與元邏輯和元數學(xué)是緊密地混雜在一起的。
邏輯的第三種也是最寬泛的意義，則遠沒(méi)有那么明確。它是關(guān)于純粹理性的探究或對理性之物的診治。在這種寬泛的意義上，發(fā)現的邏輯、發(fā)展的邏輯、某種形式的歸納邏輯、某種形式的辯證邏輯，都可以被包括在內。雖然我們對這些方面中的一些確有興趣，我們在本書(shū)中卻不會(huì )談?wù)摯藢挿阂饬x上的邏輯，而是把自己限制在前兩種更明確、更狹窄的意義上。
我們不僅對數理邏輯在數學(xué)基礎問(wèn)題和一般哲學(xué)上的應用感興趣，還關(guān)心那些超出數理邏輯但卻能彌補它在對人類(lèi)知識之一般研究方面的局限性的觀(guān)念。這樣，邏輯一般地與直覺(jué)或默會(huì )知識形成對比，至少在當前狀態(tài)下，邏輯還不能處理思維活動(dòng)（與理想化的最終結果相比），尤其是在效率上達不到。從邏輯或任何抽象觀(guān)點(diǎn)的角度研究知識現象，一個(gè)更基本但相關(guān)的局限性是，這樣做有忽視各知識分支的基本關(guān)注點(diǎn)的危險。正是為了彌補強調邏輯的這一缺陷，我們試圖從實(shí)踐和活動(dòng)的多個(gè)視角考察數學(xué)。
在一種形式的意義上，數理邏輯包含數學(xué)，因為它包含公理集合論，全部數學(xué)形式上都可以還原為后者。另一方面，我們清楚地知道，數理邏輯在實(shí)踐上只是數學(xué)的一個(gè)特殊分支，并且事實(shí)上不常被視作很核心的分支。這一“悖論”使得如下觀(guān)點(diǎn)變得十分可信：在數學(xué)哲學(xué)研究中把注意力集中在數理邏輯上的做法，是片面的和不恰當的。
數理邏輯的一個(gè)主要任務(wù)是精確刻畫(huà)基本的數學(xué)概念，如自然數、實(shí)數、集合和（邏輯上正確的）證明。實(shí)現該目標的一個(gè)基本工具是公理系統和公理方法。對公理系統的反思導向元數學(xué)和模型論，前者主要關(guān)心對符號操縱（語(yǔ)形）的一般研究，后者則研究公理系統的解釋?zhuān)ㄕZ(yǔ)義）。語(yǔ)形方面的考慮與人們對構造性方法的興趣密切相關(guān)，涉及對機械程序或嚴格形式的這個(gè)概念的一個(gè)驚人地優(yōu)雅的刻畫(huà)。這恰好為計算機準備了一個(gè)抽象的理論。而計算機反過(guò)來(lái)又表明，執行邏輯學(xué)家所設想的乏味的形式證明是實(shí)踐上可能的。這激勵人們以更精確的方式研究邏輯和直覺(jué)在數學(xué)探索活動(dòng)中所扮演的角色。因此，對知識和邏輯的研究包含對心靈和機器、計算機和數學(xué)活動(dòng)的考量，這并非是不自然的。
對模型和解釋的興趣自然地引向集合這一中心概念。事實(shí)上，集合的核心地位以很多不同的方式顯示出來(lái)。我們能有一個(gè)完備的純邏輯形式系統（一階邏輯的完全性問(wèn)題），其表述本身就依賴(lài)于“任意集合”這個(gè)概念。只有使用二階理論，即預設一個(gè)固定的關(guān)于任意數集的概括概念時(shí)，我們才能用公理系統對自然數和實(shí)數做出唯一的（范疇性的）刻畫(huà)。這樣我們一次次看到，我們訴諸集合的概念來(lái)核證其他領(lǐng)域的絕對性結果。另一方面，我們對集合卻沒(méi)有一個(gè)類(lèi)似的完備刻畫(huà)。即使我們使用二階理論并訴諸更高階的類(lèi)概念，從而豐富集合的每一個(gè)類(lèi)型或秩（增加稠密度），我們也無(wú)法凍結集合（在長(cháng)度上）向著(zhù)越來(lái)越高的秩的開(kāi)放擴張。集合論的另一個(gè)令人著(zhù)迷的特征是這樣一個(gè)明顯的悖論：對其基礎的懷疑普遍存在，但我們卻能獲得很強的直覺(jué)以非形式的方式達到正確、有趣、融貫的概念和定理。此外，關(guān)于數學(xué)對象和一個(gè)給定知識分支的內在資源的哲學(xué)問(wèn)題，引人注目地聚焦在集合論的考察中?；谶@些理由，在思考知識和邏輯時(shí)，集合的概念值得注意。
我們是以邏輯還是以數學(xué)為知識哲學(xué)的中心，這是有差別的。如果以邏輯為中心，純邏輯（第一種也是最狹窄意義上的邏輯）就擁有主要的認識論地位，研究重點(diǎn)在于由話(huà)語(yǔ)的一般形式和條件產(chǎn)生的概念和判斷。相比之下，數學(xué)則強調數和空間，或更一般地理想化的結構，它們?yōu)椴煌茖W(xué)提供簡(jiǎn)化而可操縱的模型。數學(xué)是一門(mén)比邏輯學(xué)更具實(shí)質(zhì)性的學(xué)科，因為我們能想到數、函數、空間等數學(xué)對象。誠然，這些都不像物理對象，事實(shí)上，有許多理由認為數學(xué)對象只由數學(xué)結構決定。但盡管如此，在應用數學(xué)捕捉我們關(guān)于自然過(guò)程的知識中的理論上精確的成分時(shí)，這些神秘朦朧的對象極其有用。
……
有些時(shí)候，計算機可以用來(lái)輔助純數學(xué)（例如數論）的研究，比如驗證特例或檢查計算和證明的正確性。既然所使用的計算機是物理世界的一部分，我們似乎是在援引物理現象來(lái)核證數學(xué)結果。但這里我們感興趣的顯然主要是所用計算機的抽象性質(zhì)，我們的結論本質(zhì)上不依賴(lài)于計算機是哪個(gè)特殊的物理對象，也不依賴(lài)于其具體的物理性質(zhì)。
一個(gè)更嚴肅的例子也許是這樣的想法，牛頓物理學(xué)對牛頓式世界而言是真的。雖然我們現在都相信牛頓物理學(xué)對現實(shí)世界不是嚴格地為真，我們仍然會(huì )宣稱(chēng)，當被正確地應用時(shí)，它是真的，甚至是先天的。人們也許覺(jué)得，這與沒(méi)有什么兩樣，后者在被誤用在云朵或懷孕的兔子身上時(shí)并不會(huì )被證偽。然而，仍會(huì )有一種模糊的感覺(jué)，覺(jué)得更抽象，它有廣泛的例子，而牛頓物理學(xué)則只是處理一個(gè)可以說(shuō)是獨一無(wú)二的東西，即真實(shí)的物理世界或其部分。我們還感到，牛頓物理學(xué)旨在如其所是的描述這個(gè)世界，而包含更多的概念性元素；就應用范圍而言，我們對它似乎比對牛頓物理學(xué)擁有更清楚的觀(guān)念。牛頓式世界的構想是難以實(shí)現的，因為某些自然條件排除了這個(gè)物理世界是牛頓式世界的可能性。的情況則極為不同。
有一種自然的傾向是，對數學(xué)和物理學(xué)是否不同這個(gè)問(wèn)題感到不耐煩。那些希望強調差異的人，往往視其為先天與后天或分析與綜合之區分的核心。但這樣的差異究竟有何作用，并不清楚。如果一個(gè)人相信，哲學(xué)追求先天命題，那么也許可以得出結論，哲學(xué)更像數學(xué)而不是物理學(xué)。但通過(guò)考問(wèn)結論，也許我們會(huì )對這個(gè)假設產(chǎn)生懷疑。畢竟，物理學(xué)涉及這個(gè)唯一的物理世界的基本方面，而數學(xué)看起來(lái)業(yè)務(wù)范圍更加發(fā)散，處理各種抽象的可能性。如果像我們相信的那樣，現實(shí)的比可能的更核心和更重要，那么更合理的做法似乎是，期望哲學(xué)關(guān)注現實(shí)物理世界和精神世界的基本特征，或更加緊密地關(guān)注人類(lèi)擁有的實(shí)際知識。
在日常生活中，人們認為，物理學(xué)與數學(xué)的聯(lián)系比與其他自然科學(xué)的聯(lián)系更緊密。因此，考察物理學(xué)與數學(xué)之間的相互聯(lián)系和相似性是有趣的?？档碌南忍炀C合理論的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，不僅將物理學(xué)（與知性相聯(lián)系）與數學(xué)（與直觀(guān)形式相聯(lián)系）相區別，同時(shí)還強調它們之間的相似性，體現在這一論題中：它們都與人類(lèi)心智的工作方式緊密相關(guān)。
數理邏輯的發(fā)展與形式化的思想相聯(lián)系。邏輯學(xué)家有時(shí)被指責持有這樣的信念，認為存在的就是形式的。在初等教育領(lǐng)域，近來(lái)有一種對數學(xué)的形式化方面的不幸的強調。在高等數學(xué)中，也有傳統與堆砌定義的現代潮流之間的一個(gè)爭論。人們關(guān)于傳統數學(xué)的觀(guān)念里有四種不同的元素。第一，人們似乎認為，傳統數學(xué)一般地更接近其在物理科學(xué)中的應用。第二，傳統主義者認為，舊的數學(xué)問(wèn)題是數學(xué)的核心，因為它們更自然，涉及的結構更少，而且更容易陳述。第三，有這樣一種看法，認為傳統數學(xué)對數學(xué)結果的數字內容更感興趣，因而是偏向構造性的，即使這常常是無(wú)意識的。根據這種觀(guān)點(diǎn)，邏輯學(xué)家們將經(jīng)典數學(xué)與構造性數學(xué)（特別是分析）對立起來(lái)的做法，是基于一個(gè)誤解。不過(guò)，構造性的概念原是理想化的期待，未被清楚地研究。第四，傳統數學(xué)更注重直觀(guān)，以歐幾里得幾何學(xué)為例，試圖把它變得更加形式化，至少從教學(xué)法上說(shuō)是一個(gè)錯誤?；A的（根本的）區別是，傳統數學(xué)沒(méi)有那么抽象。
雖然這些要點(diǎn)及其所蘊含的對很多當代實(shí)踐的傳統主義批評不無(wú)道理，所涉及的問(wèn)題卻絕不屬于那種會(huì )有簡(jiǎn)單明快的答案的類(lèi)型。例如，我們可以說(shuō)，集合論學(xué)家訴諸他們的直觀(guān)來(lái)尋找新公理，但使用形式推演以確定新公理能否判定連續統的基數。群和域的概念無(wú)疑具有數學(xué)意義，但人們可以合理地聲稱(chēng)，它們是用形式化方法被挑選出來(lái)的。甚至在研究公理和假設的獨立性這一十足形式的問(wèn)題時(shí)，最好的結果也是通過(guò)廣泛運用數學(xué)直觀(guān)得到的。有一個(gè)關(guān)于明晰性的困難問(wèn)題：形式化方法有時(shí)有助于獲得明晰性，有時(shí)又會(huì )對它產(chǎn)生阻礙。事實(shí)上，當被用在數學(xué)活動(dòng)而非最終結果上時(shí)，形式化方法這個(gè)概念本身是高度歧義的。
關(guān)于數理邏輯的一個(gè)引人注意的現象是，它發(fā)展地越來(lái)越數學(xué)化。隨著(zhù)它變得數學(xué)上更有趣，邏輯學(xué)家們發(fā)現自己被吸引到數學(xué)活動(dòng)的漩渦之中。與此同時(shí)，在對人類(lèi)知識之基礎的哲學(xué)理解上，它的貢獻似乎在減少而非增加。這一現象可以通過(guò)澄清一個(gè)錯誤信念來(lái)部分地解釋?zhuān)弘S著(zhù)我們更好地理解數理邏輯的本性，我們發(fā)現，早期對其哲學(xué)重要性的信念很大程度上是一個(gè)幻覺(jué)。但另一個(gè)原因可能是受追求更明確的結果的社會(huì )心理驅動(dòng)。這造成一種影響，使邏輯在哲學(xué)上更重要的方面沒(méi)有得到發(fā)展，并且被不那么重要但給人印象更深刻的數學(xué)進(jìn)展埋沒(méi)。
邏輯的中心地位與實(shí)際知識相當脫節。如果我們區分知識的三個(gè)主要方面——最終結果、活動(dòng)和進(jìn)步，邏輯作為用來(lái)形式化全部科學(xué)知識的工具，似乎僅關(guān)心最終結果。甚至在這一方面，也有一種不切實(shí)際的假定，以為科學(xué)理論已經(jīng)在數理邏輯或純邏輯的框架內得到表達和形式化。由于它們事實(shí)上不是這么表述的，并且一般來(lái)說(shuō)目前也不適合這么表述，關(guān)于理論的本體論假設和形式真定義等問(wèn)題的很多討論呈現出一種假設和虛幻的氣氛。有人可能希望把這種假設性研究與數學(xué)相比，但它如何能自然地融入人類(lèi)知識的框架，仍然不清楚。
有些知識部門(mén)，特別是數學(xué)和關(guān)于計算機的研究，在許多方面確實(shí)比較接近邏輯，并因此更有可能從數理邏輯的嚴格、普遍的結果獲益。無(wú)論如何，鑒于邏輯在當前知識哲學(xué)中處于中心地位，把邏輯作為一個(gè)起點(diǎn)看起來(lái)是合理的，盡管我們對過(guò)分地強調邏輯深感疑慮。
——節選自王浩著(zhù)，高坤、邢滔滔譯，《從數學(xué)到哲學(xué)》，廣西師范大學(xué)出版社2024年5月出版
